Das ist tatsächlich eine komplizierte Situation, weil Erbrecht und Gesellschaftsrecht sich hier überschneiden. Grundsätzlich: Die GmbH als juristische Person bleibt erstmal bestehen, du erbst die Gesellschaftsanteile, nicht die GmbH selbst. Persönliche Haftung für GmbH-Schulden hast du als Gesellschafter in der Regel nicht – das ist ja gerade der Sinn der GmbH.
Was du aber dringend prüfen solltest: Gibt es einen Gesellschaftsvertrag, und was steht da zur Erbfolge drin? Manchmal gibt es Klauseln, die die Übertragbarkeit einschränken. Außerdem brauchst du schnell einen neuen Geschäftsführer, falls dein Vater das selbst war.